Maira Alejo: MATEMATICA

A toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria(

) recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los números complejos con la letra Z ; así

Z = a + bi (a Î Â )

Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma :

Re(z) = a

Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA.

Im(z) = b

ż cuando un número complejo se dice imaginario puro?

Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0. Ejemplo :

x2 + 16 = 0

x2 = - 16

x= ±

x= ± 4i

x1= 4i X2 = - 4i

Sean Z1 y Z2 números complejos. defina:

La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.
O sea: (x1, x2) + (x3 , x4) = (x1 + x3 , x2 + x4).
* En Forma Binómica :
Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplo :
* Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i
Z1 + Z2 (adición de complejos) Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así :
Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)
Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
Entonces :
Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x - a, y - b).
* En forma Binómica :
Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces :
Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.
Z1 - Z2 (sustracción de complejos): Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real .
Si se cumple, por tanto, que
Z = a + bi y
= a - bi
diremos que es el conjugado del complejo Z. En la práctica, para determinar el conjugado de un complejo basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.
* En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)
(conjugado de un complejo): Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen términos semejantes.
La multiplicación puede hacerse más directamente observando que :
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
ac + (ad + bc)i + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
* En forma de pares ordenados :
Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos números complejos, entonces, por definición : Z1 × Z2 = (a , b) × (x , y) = (a× x - b× y , a× y+b× x).
Z1 × Z2 ( multiplicación de complejos ) :
(Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo ) Llamaremos el inverso de Z1 = a1 + b1 es : =, tal que Z× Z1 =(1 , 0).
Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico : Z1 = (x , y).
Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
Es decir ; ( ax - by, ay + by) = (1 , 0)
y también
Al resolver el sistema obtenemos:
Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por -1.
(división de complejos):
½ Z1½ ( módulo de un complejo ):

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación :

½ Z1½ = r =